Base d'ondes planes

Rappels sur les ondes planes

Définition

Les bases d'ondes planes sont utilisées dans les codes périodiques qui implémentent des conditions périodiques aux limites. Dans ces situation on définit un réseau direct $\left\lbrace \vec{a}_i\right\rbrace_{i=1,3}$ qui correspond à la cellule, ou la maille, utilisée pour le calcul et répétée dans toutes les directions de l'espace. Les vecteurs du réseau direct, sont exprimés dans la base des vecteurs $\left\lbrace \vec{a}_i\right\rbrace_{i=1,3}$ :

$$\begin{align} \vec{r} & = r_1 \vec{a}_1 + r_2 \vec{a}_2 + r_3 \vec{a}_3 \\ & = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{l} \end{align}$$

où $(r_1, r_2, r_3)$ sont les coordonnées fractionnaires, $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ sont des vecteurs orthonormés et $(x, y, z)$ sont les coordonnées cartésiennes.

Les ondes planes, $\varphi_{\alpha}(\vec{r})$, ont pour expression

$$\varphi_{\alpha}(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{\Omega}} \exp \left( i \vec{G}_{\alpha}\cdot\vec{r}\right)$$

où $\Omega$ est le volume de la maille et nous allons montrer que les vecteurs $\vec{G}_{\alpha}$ sont des vecteurs du réseau réciproque. Considérons une translation entière du réseau direct définie par le vecteur $\vec{R}=h\vec{a}_1 + k\vec{a}_2 + l\vec{a}_3$ avec $(h,k,l)\in\mathbb{Z}^3$. Si le système est périodique, on a :

$$\begin{align} \varphi_{\alpha}(\vec{r}) & = \varphi_{\alpha}(\vec{r} + \vec{R}) \\ \exp \left[ i \vec{G}_{\alpha}\cdot\vec{r}\right] & = \exp \left[ i \vec{G}_{\alpha}\cdot(\vec{r} + \vec{R})\right] \\ 1 & = \exp \left[ i \vec{G}_{\alpha}\cdot\vec{R}\right] \\ 2 \pi & = \vec{G}_{\alpha}\cdot\vec{R} \end{align}$$

Pour satisfaire cette dernière ligne, on écrit le vecteur $\vec{G}$ sous la forme $\vec{G} = u\vec{b_1}+v\vec{b_2}+w\vec{b_3}$ avec $(u,v,w)\in\mathbb{Z}^3$ et $\vec{a}_i \cdot \vec{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$. Les vecteurs $\left\lbrace \vec{b}_i\right\rbrace_{i=1,3}$ ainsi définis sont ceux du réseau réciroque et le vecteur $\vec{G}$ est donc un vecteur du réseau réciproque.

Avantages et inconvénients

Avantages d'une base d'ondes planes :

• Les ondes planes sont adaptées à la symétrie de translation
• La base est caractérisée par un seul paramètre : l'énergie de coupure

Inconvénients :

• Les vecteurs de base sont non localisés. Le calcul de propriétés locale nécessite une projetction dans une base d'orbitales atomiques.

Exercice

Dans le code VASP, la base d'onde plane est déterminées par une valeur de cut-off correspondant à l'énergie cinétique maximale des ondes planes constituant la base. Cette valeur est donnée par le mot clef ENCUT dans le fichier INCAR.

Dans cette partie on travaillera sur la structure expérimentale en faisant simplement un calcul d'énergie single point.

Caractéristiques du calcul :

• Fichiers nécessaires pour faire cette partie.
• Un sel point k est utilisé (le point $\Gamma$) : fichier KPOINTS

Questions :

1. Changer la valeur de ENCUT de 200 à 800 eV dans le fichier INCAR.
2. Tracer l'énergie en fonction de la valeur de cut-off.
3. En déduire une valeur convergée du cut-off.
4. La convergence est elle variationnelle ?

Voir les résultats sur cette partie.

complément :

Reprendre les calculs précédent en utilisant le pseudopotentiel Cu_pv.

1. Quel est la particularité de se pseudopotentiel ?
2. Comparer et justifier les résultats obtenus.